d) Mise en évidence des efforts tangentiels :

L'exemple du viscosimètre (figure 7a).

Soient deux tambours concentriques dont l'un (le tambour intérieur) est suspendu à un support par l'intermédiaire d'un fil de torsion et l'autre (le tambour extérieur) est rempli d'un fluide (liquide pour plus de facilité) et est entraîné en rotation à la vitesse N (t/s) autour de son axe. Le tambour intérieur est muni d'une aiguille permettant de mesurer l'angle de torsion du fil de suspension, donc le couple "C" que lui transmet par effet de viscosité à travers l'épaisseur "b" le tambour extérieur par le seul intermédiaire du fluide en contact. On notera que le fond du tambour extérieur est tenu à grande distance du fond du tambour intérieur pour minimiser les efforts de torsion de la colonne de fluide (entre les 2 disques de fond), efforts qui deviennent ainsi négligeables en comparaison des efforts tangentiels sur les surfaces cylindriques qui, elles par contre, sont très proches l'une de l'autre.

Figure 7 : Le viscosimètre

L'expérience montre que le couple transmis est directement proportionnel à la viscosité du fluide au contact des tambours. En effet, le couple "C" est égal à :

avec :

La force tangentielle "Ft" est égal à :

D'où la contrainte tangentielle :

Si l'on veut généraliser le rapport (vitesse tangentielle)/(distance à la surface référence), ce que l'on a toujours intéret à faire pour pouvoir utiliser une formule dans de plus nombreuses circonstances, on remplacera les grandeurs mesurables (vitesse tangentielle "Vt" et distance "b") par la différentielle, de telle sorte que :

Remarques :

s'appelle un gradient de vitesse, c'est à dire un taux de variation de vitesse en fonction d'une distance. Ici le rapport Vt/b ferait l'affaire parce que le gradient est constant (il est linéaire), mais il est préférable d'utiliser l'équation différentielle, car elle est plus universelle et elle englobe les cas non linéaires (non constant).

Le gradient de vitesse qui nous intéresse c'est celui qui règne à l'interface solide/liquide, en l'occurence celle qui concerne le cylindre intérieur (pour y = 0) puisque la contrainte tangentielle s'applique (aussi) à cette surface. nous donne donc la tangente de l'angle que fait la courbe au point de contact, c'est à dire sa pente en ce point 1à. (Fig. 7b)

Si 1'on vide la cuve du viscosimètre et que l'on fasse tourner le cylindre extérieur, l'aiguille ne restera évidemment pas sur Zéro et donnera pour valeur la viscosité "µ" de l'air qui est de l'ordre de 1,793.10-5 kg/m.s au niveau de la mer et pour l5° C.

"µ" et "" sont tous deux des viscosités et se différencient 1'une de l'autre par le fait que l'une intègre la masse spécifique "" du fluide concerné, alors que l'autre ne le fait pas. "µ" est la viscosité dynamique (dynamique parcequ'elle révèle l'action d'une force) et "", la viscosité cinématique (cinématique paree qu'en intègrant une masse, elle met l'accent sur le mouvement). La relation entre "µ " et "" est la suivante :

avec :

µ : viscosité dynamique (kg/m.s) ou N.s/m²

: viscosité cinématique (m²/s)

: masse spécifique (kg/m3)

Dans le cas du viscosimètre, comme dans celui des 2 plaques planes parallèles précédentes, le gradient de vitesse est linéaire puisque la pente de la variation de vitesse reste la même lorsque l`on passe d'une couche à l'autre. Cela est dû au fait que le fluide a une épaisseur finie faible puisque limité par deux surfaces solides (Figure 7b). De fait l'écoulement reste laminaire.

figure 8 : Répartition non linéaire des vitesses

Cependant, cette linéarité peut cesser dès lors qu'une des deux surfaces est supprimée. L`épaisseur devient alors quasi-infinie et des phénomènes d'inerties, dus à la masse du fluide mis en mouvement, viennent perturber cette belle linéarité. Le gradient de vitesse varie donc dans l'épaisseur du fluide depuis la surface de contact avec le corps, où il est maximum, jusqu'à ce qu'il devienne pratiquement nul à une certaine distance de la surface du corps (figure 8).

La variation du gradient dans l'épaisseur du fluide en mouvement est un pur effet de la viscosité qui, elle mëme, trouve son origine dans la constitution moléculaire des fluides. Gaz et liquides sont en effet constitués de molécules libres dont la particularité est d'ëtre en perpétuel mouvement (agitation brownienne) et, par voie de conséquence, d'être sujettes à de multiples chocs entre elles, chocs qui modifient évidemment les trajectoires. Lorsqu'une molécule libre du fluide rencontre une des molécules de la paroi en mouvement, elle rebondit comme de bien entendu, mais elle reçoit cependant une impulsion d'entraînement tangentiel qu'elle transmet, de proche en proche et par chocs successifs, aux molécules libres des couches voisines. En se propageant de couche en couche, cette impulsion tangentielle va, en quelque sorte se "diluer", c'est à dire perdre petit à petit sa composante tangeantielle au fur et à mesure de sa diffusion au sein d'une population de plus en plus grande de molécules libres.

Remarques :

L'approche moléculaire explique pourquoi le gradient de vitesse décroit progressivement en s'éloignant de la paroi. Progressivement veut dire ici qu'il ne s'annule, théoriquement, qu'à l'infini (comme les ronds dans l'eau).
Elle explique aussi pourquoi la couche en contact est adhérente. Adhérent signifiant simplement qu'elle se déplace à la même vitesse que la paroi.
Cette propagation de proche en proche des impulsions tangentielles élémentaires est explicative des écoulements laminaires. Elle ne l'est plus pour ce qui est des écoulements turbulents. Là, les choses se passent différemment et à une toute autre échelle puisque les impulsions ne se propagent plus seulement de proche en proche (de façon individuelle) mais sont prises dans des mouvements de populations moléculaires entières, recrutées dans de nombreuses couches à la fois. Le phénomène "turbulent" a une origine macrophysique, alors qu'elle est microphysique pour le phénomène "laminaire".
La viscosité est une propriété inhérente aux gaz et aux liquides puisqu'elle est une conséquence directe de leur structure moléculaire et de 1'agitation brownienne. De ce fait il est illusoire de vouloir l'annuler.

Ainsi, tout fluide (par principe) visqueux, en contact avec une surface solide en mouvement est l'objet de contraintes tangentielles entre chacune de ses couches qui font que chacune d'elles sera plus ou moins entraînée selon sa distance à la plaque. Par conséquent chacune d'elle présentera une vitesse d'entraînement différente, dont les variations en fonction de la distance à la plaque (ce qui s'appelle un gradient), seront elles-mêmes variables. Bien entendu le gradient qui nous intéresse, c`est celui que l'on trouve au niveau de la surface de contact (pour y = 0 donc). I1 nous intéresse d'abord parce que ce gradient de surface ne varie pas seulement lorsqu'on s'éloigne de la surface, mais parce qu`il varie aussi selon que le point considéré est plus ou moins éloigné du bord d'attaque du corps étudié. Il nous intéresse ensuite parce que sa valeur va être déterminante dans un certain nombre de phénomènes, notamment ceux qui sont liés à la couche limite.

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